Dérivées
Objectifs
Documents
- F. Liret et D. Martinais, Mathématiques pour le DEUG,
Analyse 1ère Année (Dunod),
chapitres 6, 7.
- I. Stewart, Analyse, concepts et contextes,volume 1, DeBoeck Université, 2001),
chapitre 2, §2.6-§2.10, chapitre 3 et 4
L'accent est mis sur des situations "réelles" où intervient
la notion de dérivée et beaucoup d'exercices mettent en avant un problème de
modélisation en rapport avec les notions mathématiques.
Guide
Nombre dérivé et tangente
Nombre dérivé et tangente
Taux de variation :
Soit
une fonction définie sur un intervalle
de
à valeurs réelles.
Le
taux de variation (ou taux d'accroissement)
de
entre les points
et
distincts de
est le quotient
.
Le
coefficient directeur de la droite passant par les points de
coordonnées
et
avec
différent de
est égale à
,
c'est-à-dire au taux de variation de
entre
et
.
Nombre dérivé :
Soit
une fonction définie et continue sur un intervalle fermé
et
un réel dans
. Le
nombre dérivé
de
en
est la limite, si elle existe, du taux de variation de
entre
et
lorsque
tend vers 0 (avec
appartenant à
On le note
:
Lorsque
existe, la
tangente à la courbe
en un point est la droite passant par le point
et de coefficient directeur
.
C'est donc aussi la "limite" de la droite
pour
un point sur la
courbe représentative du graphe de
tendant vers
dans un sens "naturel".
(
dessin
(certaines fonctions sont "plus jolies" que d'autres !)
La droite jaune est la tangente au point
à la
courbe d'équation
avec
. Elle est de pente
.
C'est aussi la "limite" de la droite rouge
pour
un point sur la courbe représentative du graphe de
tendant vers
.
Cependant, la
courbe suivante
a une tangente en un point
et est le graphe d'une fonction n'admettant pas de nombre dérivé en ce point.
)
Dessins
(certaines fonctions sont "plus jolies" que d'autres !)
La droite jaune est la tangente au point
à la
courbe d'équation
avec
. Elle est de pente
.
C'est aussi la "limite" de la droite rouge
pour
un point sur la courbe représentative du graphe de
tendant vers
.
Cependant, la
courbe suivante
a une tangente en un point
et est le graphe d'une fonction n'admettant pas de nombre dérivé en ce point.
Tangente verticale
Exercices sur les tangentes
Exercices sur le calcul des tangentes (révisions)
Trouver la tangente à une courbe
Trouver la valeur de certains paramètres pour qu'une courbe dépendant de paramètres admette une tangente donnée
Vocabulaire physique
Les mots suivants désignent en fait des taux de variation ou des dérivées de fonctions "naturelles".
En physique ou ailleurs, l'adjectif
instantané
évoque une dérivée au sens mathématique du terme,
alors que l'adjectif
moyen
évoque plutôt un
taux de variation entre deux points:
par exemple, le
taux de variation instantané
est un exemple de ce qu'on appelle en mathématiques la
dérivée.
Voilà un peu de vocabulaire.
Fonction |
Variable |
Taux de variation |
Dérivée |
distance parcourue |
en fonction du temps |
vitesse moyenne |
vitesse ou vitesse instantanée |
volume |
en fonction du temps |
débit moyen |
débit (instantané) |
masse d'une tige |
en fonction de la longueur |
densité linéique moyenne |
densité linéique |
masse d'une plaque |
en fonction de la surface |
densité surfacique moyenne |
densité surfacique |
charge électrique
|
en fonction du temps |
courant électrique moyen |
courant instantané |
coût de production
|
en fonction de la quantité fabriquée |
|
coût marginal |
taille d'une population |
en fonction du temps |
taux d'accroissement moyen |
taux d'accroissement instantané |
Dérivée à droite, dérivée à gauche
Une définition un peu plus fine du nombre dérivé est de définir
le
nombre dérivé à droite et le
nombre dérivé à gauche.
L'utilité de cette notion est visible sur les dessins tout simples suivants.
Cette fonction dont le graphe est dessiné est continue.
Le nombre dérivé existe en -1 si on restreint la fonction à
(c'est ce qu'on appelle le nombre dérivé à droite
ou la dérivée à droite), il existe en -1 si
on restreint la fonction à
(c'est ce qu'on appelle le nombre dérivé à gauche
ou la dérivée à gauche ). Mais la dérivée n'existe pas en -1.
Exemples
Fonction dérivée
Si une fonction
est
dérivable en tout point d'un intervalle
la fonction
qui à un réel
de
associe le nombre
dérivé de
en
est appelée la fonction dérivée de
. On la note
.
Si
est elle-même dérivable, on note
sa dérivée, puis
, etc...
Graphe de la dérivée.
Il est important de savoir interpréter le graphe de la fonction dérivée en lien avec
le graphe de la fonction. Les théorèmes seront revus plus tard et surtout démontrés. Pour l'instant, utilisez les connaissances que vous avez acquises en terminale
ou dans le livre de Stewart, section 2.10, p. 175-177.
Le graphe de la fonction
définie par
est en vert, le graphe de sa dérivée
en rouge et le graphe de sa dérivée seconde en bleu.
Pour le deviner, plusieurs choses à regarder :
-
Les extrema de
peuvent suggérer un zéro de la fonction dérivée
.
-
Lorsque la fonction
est croissante, sa dérivée est positive,
lorsqu'elle est décroissante, sa dérivée est négative.
-
La concavité de
donne des renseignements sur les intervalles où
est positive.
-
Un point d'inflexion (changement de concavité) peut suggérer un zéro de
.
Exercices :
- Reconnaître le
graphe de la dérivée
d'une fonction à partir du graphe de la fonction parmi plusieurs graphes.
- Distinguer le
graphe d'une fonction et de ses dérivées
Produit, quotient et composé
Cours :
Calcul de la dérivée d'un produit, d'un quotient et d'un composé de fonctions
Des exemples progressifs et détaillés sont donnés dans le livre de Stewart,
volume 1, §3.2, p. 201 (fonctions produits et quotients), §3.5, p. 227 (fonctions composées).
Exercices sur
-
le calcul de la dérivée du
produit
et/ou
des
dialogues sur la dérivée d'un produit
-
le calcul de la dérivée du
quotient
et/ou des
dialogues sur la dérivée d'un quotient
-
le calcul de la dérivée de la
composée
et/ou des
dialogues sur la dérivée d'un composé
Exercices : domaine de dérivabilité
Exercice : Pour chacune des
fonctions suivantes, donner le domaine de définition de la fonction, calculer
la dérivée et donner le domaine de définition de la dérivée.
-
Solution
:
Comme
, le domaine de définition de
est
La fonction racine carrée
n'est pas dérivable (à droite) en 0. Aussi,
la fonction
n'est pas dérivable en -4/3 et en -1 et le domaine de définition de
est
Pour
dans ce domaine,
.
-
Solution
Puisque
pour tout
, la fonction
et et sa dérivée sont définies sur tout
.
On peut dériver
en la mettant d'abord sous la forme
,
ce qui donne
-
Solution
Comme
ne s'annule pas sur
,
Par contre, la fonction valeur absolue
n'est pas dérivable
en 0. L'expression
n'est jamais nulle sur
mais ce n'est pas le cas de
.
Le domaine de définition de
est
.
Pour
dans
,
Pour
dans
-
Solution
Le logarithme est défini, continu et dérivable sur
.
Donc
est défini, continu et dérivable en tout réel
tel que
soit non nul
et tel que
soit strictement positif :
Pour
,
.
Dérivabilité et ordre de dérivabilité
Exercices :
-
Trouver les points où la fonction est continue mais non dérivable
-
trouver l'ordre de dérivabilité I
-
trouver l'ordre de dérivabilité II
Exercices :
Recollement de fonctions
-
en un point avec un paramètre
-
en un point avec deux paramètres
-
en deux points
Questions sur la
continuité de la dérivée
Un exercice sur le cosinus
Exercice :
Montrer que les fonctions sinus et cosinus (définies géométriquement au
lycée) sont dérivables en utilisant le
résultat fondamental
.
Aide
Utiliser les formules de trigonométrie, par exemple,
.
Solution
Si
est un réel fixé nous devons calculer
En utilisant la formule :
on obtient :
Ce qui nous permet d'écrire :
Donc,
puisque
Utilisation des dérivées pour calculer des limites
Quelques limites qui sont en fait des
limites de taux d'accroissement peuvent se calculer en utilisant les dérivées classiques.
Exercice : Calculer les limites suivantes :
-
-
Mettre l'expression sous la forme du quotient de deux taux d'accroissements.
1/4