DOC Premières études de fonction
Etudes de fonctions polynômes simples
Idée de dérivée
Le long d'une droite, la pente est constante : c'est le
coefficient directeur.
Son
signe indique si la droite "monte" ou "descend".
Sa
valeur indique si la pente de la droite (au sens usuel du terme) est plus ou moins forte.
C'est ce qui différencie une "courbe", au sens usuel du terme, d'une droite : le long d'une courbe, la pente varie.
Comme cette pente varie selon le point observé, on peut essayer de l'exprimer avec une formule faisant intervenir la variable x.
La dérivation d'une fonction est l'opération permettant de trouver la "formule de la pente de la courbe" à partir de la "formule de la courbe".
Notation : si la fonction est notée
ou
, on notera
ou
sa dérivée.
Calcul de dérivées
Dérivée de
Le tableau ci-dessous donne les dérivées des "briques de base".
Les trois premières lignes de ce tableau correspondent au coefficient directeur d'une droite.
|
|
constante :
| 0 |
|
|
| 1 |
|
|
|
|
|
|
Opérations et exemples
Addition et soustraction
- La dérivée d'une somme est la somme des dérivées.
- La dérivée d'une différence est la différence des dérivées.
Exemple
Cliquer sur l'étoile pour avoir un nouvel exemple :
Si
, alors
=
.
Multiplication ou division par une constante
Si
est une
constante :
- La dérivée de
est
.
- La dérivée de
est
.
Exemple
En utilisant cette règle ainsi que la précédente, on obtient :
-
Si
, alors
.
-
Si
, alors
.
-
Si
, alors
.
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
Multiplication ou division de deux fonctions (cas général)
Exemple
Pour les fonctions polynômes, on n'a pas besoin d'utiliser les formules ci-dessus.
Si on a un produit de deux fonctions à dériver, on commencera par développer le produit avant de dériver.
Si
, on commence par développer :
.
La fonction est alors sous une forme qui permet de la dériver sans problème avec les formules des premiers paragraphes.
On a donc
=
Application 1 : tableau de variation
Principe de base : c'est le signe de la dérivée qui permet de connaître le sens de variation de la fonction :
sur un intervalle,
- si la dérivée a le signe +, alors la fonction est croissante
-
si la dérivée a le signe -, alors la fonction est décroissante
donc
Remarque préliminaire : il faut d'abord savoir étudier le signe de différentes expressions.
Pour les études de fonctions abordées dans cette page, vous aurez besoin de savoir étudier le signe des expressions
de la forme ax+b
.
Exemple 1
Soit
la fonction définie sur l'intervalle [-1 ; 1] par
.
Calculer la dérivée
de la fonction
.
En déduire le tableau de variation de la fonction
sur l'intervalle [-1 ; 1].
, donc
=
.
On étudie donc le signe de
. Cette expression est de la forme
, donc on résout
.
La solution est
.
Le signe de
est le signe de 4 (coefficient de x) à droite du 0, et le signe contraire à gauche.
On obtient donc le tableau suivant :
|
| | |
|
|
| | - | 0 | + | |
| NaN | | | | NaN |
Exercice
Application 2 : équation de la tangente à une courbe
Principe : la tangente à la courbe représentant la fonction
au point d'abscisse
est la droite qui
passe par le point de coordonnées (a ; f(a))
et qui a comme coefficient directeur
Pour calculer l'équation de cette tangente, on commence donc par calculer
et
.
Exemple
Soit
la fonction définie sur l'intervalle [-2 ; 3] par
et
sa courbe représentative.
Déterminer l'équation de la droite T, tangente à la courbe
au point d'abscisse
.
, donc
=
.
On calcule
, et
Le coefficient directeur de la droite T est . Donc l'équation de T est de la forme
.
Cette droite passe par le point de coordonnées x = 2 ; y = NaN.
On en déduit que NaN = 2 + b, d'où b = NaN.
L'équation de T est donc :
Exercice guidé
Exercice