Isometrie del piano

In questo paragrafo elencheremo le proprietà delle isometrie che possono essere dedotte direttamente dalla definizione appena data, cioè che seguono dall'unica proprietà:

Proprietà

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È facile mostrare (esercizio!) che da queste proprietà, qualunque sia l'isometria $f$, seguono le proprietà elencate qui di seguito.

• Un qualsiasi segmento $PQ$ ha come immagine il segmento $f(P)f(Q)$. Inoltre questi due segmenti hanno la stessa lunghezza in quanto $d(P,Q)=d(f(P),f(Q))$.
• Un qualsiasi triangolo $PQR$ ha come immagine il triangolo $f(P)f(Q)f(R)$. Inoltre questi due triangoli sono congruenti perché hanno i lati corrispondenti nell'isometria uguali.
• Un qualsiasi poligono ha come immagine un poligono con lo stesso numero di lati. I due poligono sono inoltre congruenti e questo significa, tra le varie cose, che per esempio hanno la stessa area.
• Una qualsiasi circonferenza nel piano ha come immagine una circonferenza con lo stesso raggio.

Dati due punti $P$ e $Q$ del piano, la linea più corta (di misura minore possibile) che unisce questi due punti è proprio il segmento $PQ$. Chiamiamo distanza tra $P$ e $Q$ la lunghezza del segmento $PQ$ e indichiamo la misura di tale lunghezza con il simbolo $d(P,Q)$.
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Fissata una retta $r$, la riflessione rispetto a $r$ manda un qualsiasi punto $P$ del piano nel punto $P\prime$ avente le seguenti caratteristiche

• se $P\in r$ allora $P\prime =P$;
• se $P\notin r$, allora il punto $P\prime$ è quell'unico punto per cui il segmento $PP\prime$ è perpendicolare a $r$ e il punto medio del segmento $PP\prime$ appartiene a $r$.

Se vogliamo una scrittura abbreviata, posiamo indicare la riflessione rispetto alla retta $r$ con il simbolo ${\sigma }_r$.
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Esercizio interattivo

Esercizio interattivo

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Fissato un angolo $\alpha$ e un punto $O$, la rotazione di angolo $\alpha$ attorno a $O$ manda un qualsiasi punto $P$ del piano nel punto $P\prime$ avente le seguenti caratteristiche

• se $P=O$, allora $P\prime =O$;
• se $P\ne O$, allora il punto $P\prime$ è quell'unico punto per cui l'angolo $\widehat{POP\prime }$ è uguale a $\alpha$ anche nel verso e il segmento $PO$ è uguale al segmento $P\prime O$.

Se vogliamo una scrittura abbreviata, possiamo indicare la rotazione di angolo $\alpha$ attorno a $O$ con il simbolo ${\rho }_{O,\alpha }$.
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Esercizio interattivo

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Fissato un vettore $v$, la traslazione di vettore $v$ manda un qualsiasi punto $P$ del piano in quell'unico punto del piano $P\prime$ per cui il vettore da $P$ a $P\prime$ ha uguale lunghezza, direzione e verso del vettore $v$.
Se vogliamo una scrittura abbreviata, possiamo indicare la traslazione di vettore $v$ con il simbolo ${\tau }_v$.
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Esercizio interattivo

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Si pone il problema di capire se oltre alle tipologie di isometrie che abbiamo descritto ne possano esistere altre.

Domanda

Esempio

Esempio

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II-4-1 Composizione di isometrie

Proprietà

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Quando eseguiamo la composizione di isometrie abbiamo un problema analogo a quello appena visto che possiamo enunciare in questi termini:

Domanda

Il caso più importante da ricordare è il caso in cui $f$ e $g$ sono due riflessioni, rispetto a due rette $r$ e $s$ rispettivamente. In questo caso infatti la composizione è una rotazione o una traslazione a seconda che le rette $r$ e $s$ siano incidenti o parallele. Potete esplorare queste due casistiche mediante le animazioni dei prossimi esempi.

Esempio

Esempio

Esercizio interattivo

Riassumiamo alcune delle cose viste e integriamole con ulteriori osservazioni.
Sappiamo che l'identità $\mathrm{id}$ è una isometria e conosciamo altri tre tipi di isometrie

• ${\sigma }_r$: riflessione rispetto alla retta $r$;
• ${\rho }_{O,\alpha }$: rotazione attorno al punto $O$ di angolo $\alpha$;
• ${\tau }_v$: traslazione di vettore $v$.

III-1-1 Asse di un segmento

III-1-2 Composizione di isometrie e inversi

III-1-3 Equazioni

Definizione

Potete verificare le seguenti proprietà di tale oggetto geometrico.

• L'asse del segmento $AB$ è costituito da tutti e soli i punti del piano $P$ tali che $d(A,P)=d(B,P)$.
• Se $f$ è una riflessione e $P$ è un punto tale che $P\ne f(P)$, allora indicando con $r$ l'asse del segmento $Pf(P)$, si ha che $f={\sigma }_r$.
• Se $f$ è una rotazione e $P$ è un punto tale che $P\ne f(P)$, allora il centro di $f$ appartiene all'asse del segmento $Pf(P)$.

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Abbiamo già ricordato che la composizione di due isometrie è ancora una isometria.

Proprietà

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In particolare

Proprietà

Proprietà

Proprietà

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Esplorando le isometrie che conosciamo, potete osservare che:

• $\widehat{{\sigma }_r}={\sigma }_r$
• $\widehat{{\tau }_v}={\tau }_{-v}$
• $\widehat{{\rho }_{O,\alpha }}={\rho }_{O,-\alpha }$

Potete anche osservare le seguenti proprietà della composizione di isometrie:

• $\widehat{(f\circ g)}=\hat{g}\circ \hat{f}$
• se $f\circ g=\mathrm{id}$, allora $f=\hat{g}$ e $g=\hat{f}$

Il fatto di sapere che per la composizione di isometrie valgono le proprietà di gruppo ci permette di risolvere semplici equazioni. Per esempio se conosciamo due isometrie $f$ e $g$ e sappiamo che sono legate a una isometria $x$ dalla seguente relazione:

$f\circ x=g$

allora si può ricavare $x$ moltiplicando (a sinistra) per l'inverso di $f$ in questo modo

$\hat{f}\circ (f\circ x)=\hat{f}\circ g$

da cui segue

$x=\hat{f}\circ g$

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Definizione

Provate a analizzare le isometrie che conoscete e a descriverne i punti fissi.
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Vogliamo cominciare l'analisi delle possibili tipologie di isometrie del piano servendoci dell'idea di punto fisso e cominciando a andare a analizzare il caso in cui l'isometria abbia tre punti fissi. In realtà è utile e necessario precisare le ipotesi: ci chiediamo come sia fatta una isometria che possiede almeno tre punti fissi non allineati.

Domanda

Avendo specificato che i tre punti $A$, $B$ e $C$ in questione non sono allineati, è sufficiente applicare la proprietà Prop:TrePunti per concludere che $f=\mathrm{id}$.
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Suggerimenti

Il passo successivo è l'analisi delle isometrie con due punti fissi. Anche in questo caso precisiamo un po' meglio le ipotesi: ci chiediamo come sia fatta una isometria che possiede almeno due punti fissi distinti.

Domanda

Naturalmente questa casistica comprende anche il caso appena visto e quindi $f$ potrebbe essere l'identità $\mathrm{id}$.
Ma $f$ potrebbe essere una isometria diversa dall'identità. In questo caso, è facile verificare che se indichiamo con $r$ la retta individuata dai punti $A$ e $B$, allora $f$ coincide proprio con ${\sigma }_r$.
Per vederlo, consideriamo un qualsiasi punto $P$ del piano, non allineato con $A$ e $B$, per cui $f(P)\ne P$ (possiamo sicuramente trovare un punto $P$ così fatto, perché?). Allora, essendo $f$ una isometria si ha che $d(A,P)=d(f(A),f(P))$, cioè

$d(A,P)=d(A,f(P))$

Questo significa che il punto $A$ appartiene all'asse del segmento $Pf(P)$ (cfr. Asse ). Lo stesso ragionamento porta a concludere che il punto $B$ appartiene all'asse del segemento $Pf(P)$. Ma allora l'asse del segmento $Pf(P)$ è proprio la retta $r$.
A questo punto, osservando il comportamento di $f$ e di ${\sigma }_r$ sui tre punti $A$, $B$ e $P$ possiamo concludere che $f$ è proprio ${\sigma }_r$, sempre in virtù della proprietà Prop:TrePunti .
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A questo punto il passo sucessivo è l'analisi delle isometrie con un punto fisso.

Domanda

Potremmo essere in una delle casistiche precedenti, per cui $f$ potrebbe essere l'identità (``tre'' punti fissi) o una riflessione (``due'' punti fissi). Quindi ci restano solo da studiare le isometrie che ammettono un unico punto fisso.
Sia quindi $f$ una isometria che ammette come unico punto fisso il punto $A$. Se $P$ è un qualsiasi punto del piano diverso da $A$, allora si deve avere che $f(P)=P\prime \ne P$. Chiamiamo $r$ l'asse del segmento $PP\prime$. Dal momento che $f$ è una isometria, abbiamo che

$d(A,P)=d(f(A),f(P))=d(A,P\prime )$

e quindi $A\in r$ (cfr. Asse ). Consideriamo la riflessione ${\sigma }_r$. Questa isometria si comporta in questo modo sui tre punti che stiamo considerando

$A\mapsto AP\mapsto P\prime P\prime \mapsto P$

Quindi quando componiamo $f$ seguita da ${\sigma }_r$, l'isometria ${\sigma }_r\circ f$ si comporta in questo modo sui punti $A$ e $P$:

$A\stackrel{f}{\mapsto }A\stackrel{{\sigma }_r}{\mapsto }AP\stackrel{f}{\mapsto }P\prime \stackrel{{\sigma }_r}{\mapsto }P$

Quindi ${\sigma }_r\circ f$ è una isometria con almeno due punti fissi, e ricade perciò in uno dei casi precedenti.

• ${\sigma }_r\circ f=\mathrm{id}$, che ci porta a dire

  $f=\widehat{{\sigma }_r}={\sigma }_r$

  e questo non può essere il caso nostro, in quanto $f$ ha un solo punto fisso, mentre ${\sigma }_r$ ne ha infiniti (vero?).
• ${\sigma }_r\circ f$ è una riflessione rispetto alla retta $s$ che è proprio la retta passante per $A$ e per $P$. Quindi ${\sigma }_r\circ f={\sigma }_s$, da cui

  $f=\widehat{{\sigma }_r}\circ {\sigma }_s={\sigma }_r\circ {\sigma }_s$

  Siccome le rette $r$ e $s$ passano entrambe per $A$, siamo nel caso in cui la composizione di riflessioni è una rotazione di centro $A$.

I risultati fin qui ottenuti si possono riassumere in questo modo:

1. Se una isometria $f$ del piano ha (almeno) tre punti fissi non allineati, allora $f=\mathrm{id}$.
2. Se una isometria $f$ diversa dall'identità ha (almeno) due punti fissi e $r$ è la retta individuata da questi due punti, allora $f={\sigma }_r$.
3. Se una isometria $f$ ha uno e un solo punto fisso, allora $f={\sigma }_r\circ {\sigma }_s$ con $r$ e $s$ che si intersecano nel punto fisso (e quindi $f$ è una rotazione).

Per arrivare al caso generale resta quindi aperta l'ultima casistica

Domanda

Analizziamo quindi come può essere fatta una isometria $f$ che non ha punti fissi. Se $P$ è un qualsiasi punto del piano si deve avere $f(P)=P\prime \ne P$. Possiamo allora considerare l'asse del segmento $PP\prime$, che chiamiamo $t$, e considerare la riflessione ${\sigma }_t$. Si ha

$P\stackrel{f}{\mapsto }P\prime \stackrel{{\sigma }_t}{\mapsto }P$

quindi $P$ è un punto fisso per ${\sigma }_t\circ f$. Questo significa che siamo in una delle casistiche già viste, ovvero una delle seguenti:

1. ${\sigma }_t\circ f=\mathrm{id}$
2. ${\sigma }_t\circ f={\sigma }_r$
3. ${\sigma }_t\circ f={\sigma }_r\circ {\sigma }_s$

Per tali casistiche si ha rispettivamente

1. $f={\sigma }_t$
2. $f={\sigma }_t\circ {\sigma }_r$
3. $f={\sigma }_t\circ {\sigma }_r\circ {\sigma }_s$

Osserviamo che il primo di questi casi è da escludere perché $f$ non ha punti fissi; il secondo caso è possibile solo se $t$ e $r$ sono due rette parallele e questo significa che $f$ è una traslazione. Il terzo caso resta da analizzare e lo vedremo più avanti (cfr. Caso:Mancante ).
In ogni caso, siamo in grado di descrivere una qualsiasi isometria del piano nel modo seguente.

Proprietà

Una proprietà che può permettere di distinguere tra loro le tipologie di isometrie è il loro comportamento rispetto all'orientazione.
Possiamo dare un'idea intuitiva di questa proprietà in questo modo: se prendiamo tre punti non allineati del piano $A$, $B$ e $C$ possiamo percorrere il contorno del triangolo $ABC$ seguendo proprio l'ordine $A$, $B$, $C$. In questo modo il contorno del triangolo viene percorso in un certo verso, in senso orario oppure in senso antiorario. Quanto applichiamo l'isometria e facciamo la stessa cosa con i punti $f(A)$, $f(B)$ e $f(C)$ può succedere che il verso di percorrenza resti lo stesso oppure cambi. Nel primo caso diciamo che $f$ conserva l'orientazione, nel secondo caso diciamo che $f$ inverte l'orientazione.
È possibile verificare che

• $\mathrm{id}$, le rotazioni e le traslazioni conservano l'orientazione;
• le riflessioni invertono l'orientazione.

È anche possibile verificare che

• Se $f$ e $g$ conservano l'orientazione, allora $f\circ g$ conserva l'orientazione.
• Se $f$ e $g$ invertono l'orientazione, allora $f\circ g$ conserva l'orientazione.
• Se una tra $f$ e $g$ conserva l'orientazione, mentre l'altra inverte l'orientazione, allora allora $f\circ g$ inverte l'orientazione.

È utile applicare le proprietà appena enunciate a prodotti di riflessioni, in quanto abbiamo appena visto che ogni isometria del piano è esprimibile come composizione di al più tre riflessioni.

• Se $f$ è composizione di un numero pari di riflessioni, allora $f$ conserva l'orientazione.
• Se $f$ è composizione di un numero dispari di riflessioni, allora $f$ inverte l'orientazione.

I risultati fin qui ottenuti ci hanno portato a concludere che una qualsiasi isometria del piano diversa dall'identità è esprimibile come composizione di al massimo tre riflessioni. Sappiamo che cosa succede quando l'isometria $f$ è il risultato della composizione di due riflessioni, ma resta aperto il caso lasciato in sospeso al termine di CasoGenerale : $f$ è una isometria che non ha punti fissi e che può essere scritta come composizione di tre riflessioni.

Proprietà

Possiamo ragionare in questo modo. Sia $P$ un punto qualsiasi del piano. Essendo $f$ priva di punti fissi, si ha che $f(P)\ne P$. Sia allora $H$ il punto medio del segmento $Pf(P)$ e consideriamo la rotazione ${\rho }_{H,{180}^{\circ }}$ di ${180}^{\circ }$ attorno a $H$. Possiamo studiare l'isometria

$g={\rho }_{H,{180}^{\circ }}\circ f$

È facile osservare che $g$ è una isometria che inverte l'orientazione e che ha come punto fisso $P$. Il fatto di avere (almeno) un punto fisso significa che $g$ può essere solo l'identità, una riflessione o una rotazione (cfr. Un:Punto:Fisso ). Il fatto di invertire l'orientazione riduce ulteriormente le possibilità: $g$ può solo essere una riflessione rispetto a una retta $r$ passante per $P$. Quindi

$g={\sigma }_r={\rho }_{H,{180}^{\circ }}\circ f$

da cui

$f=\widehat{{\rho }_{H,{180}^{\circ }}}\circ {\sigma }_r={\rho }_{H,{180}^{\circ }}\circ {\sigma }_r$

L'ultimo sforzo consiste nell'osservare che se $s$ e $t$ sono due qualsiasi rette perpendicolari passanti per $H$ si può scrivere

${\rho }_{H,{180}^{\circ }}={\sigma }_s\circ {\sigma }_t={\sigma }_t\circ {\sigma }_s$

La scelta di queste $s$ e $t$ è completamente arbitraria (purché si scelgano due rette perpendicolari passanti per $H$), possiamo allora sceglierle in modo che $s$ sia parallela a $r$ (e in questo caso $t$ è perpendicolare sia a $s$ che a $r$).
Con questa scelta di $s$ e $t$ possiamo scrivere:

$f={\rho }_{H,{180}^{\circ }}\circ {\sigma }_r=({\sigma }_t\circ {\sigma }_s)\circ {\sigma }_r={\sigma }_t\circ ({\sigma }_s\circ {\sigma }_r)$

Essendo $s$ e $r$ due rette parallele, allora ${\sigma }_s\circ {\sigma }_r$ è una traslazione di vettore $v$ e questo vettore $v$ è perpendicolare a $s$ e $r$, cioè è parallelo a $t$. Quindi

$f={\sigma }_t\circ {\tau }_v$

con $t$ e $v$ paralleli.
Questa tipologia di isometrie è il caso mancante nel nostro processo di classificazione delle isometrie.

Definizione

È facile verificare che la condizione che $r$ e $v$ siano paralleli permette anche di commutare il prodotto, cioè

${\sigma }_r\circ {\tau }_v={\tau }_v\circ {\sigma }_r$

Esercizio interattivo

È utile osservare anche che, se sappiamo di avere a che fare con una glissoriflessione, ai fini dell'individuazione di questi $r$ e $v$ che la caratterizzano univocamente, la retta costruita nella nostra argomentazione passa per $H$, cioè per il punto medio del segmento $Pf(P)$, avendo preso un generico punto $P$ nel piano. In altre parole la retta $r$ ha la proprietà di passare per i punti medi dei segmenti che uniscono i punti del piano con le rispettive immagini (proprietà messa in evidenza dall'esempio all'inizio del paragrafo Classificazione ).

Esercizio interattivo

Le glissoriflessioni completano l'elenco delle tipologie di isometrie nel piano. Una isometria del piano diversa dall'identità è necessariamente di una delle quattro tipologie viste

• ${\sigma }_r$, riflessione rispetto alla retta $r$ (composizione di ``una'' riflessione)
• ${\rho }_{O,\alpha }$, rotazione di angolo $\alpha$ attorno al punto $O$ (composizione di due riflessioni)
• ${\tau }_v$, traslazione di vettore $v$ (composizione di due riflessioni)
• ${\sigma }_r\circ {\tau }_v={\tau }_v\circ {\sigma }_r$, glissoriflessione di asse $r$ e vettore $v$ (composizione di tre riflessioni)

Alla luce di questi risultati potete rivedere l'esercizio Esercizio:Tipo . Potete anche rivedere gli esercizi qui di seguito.

Esercizio interattivo

Esercizio interattivo

III-8-1 Altre proprietà delle isometrie

Alla luce della classificazione delle isometrie, potete esplorare altre proprietà delle isometrie.

Esercizio interattivo

Esercizio interattivo