Encadrer des fonctions --- Introduction ---

Ce module regroupe 8 exercices sur l'encadrement des fonctions. Ils illustrent le cours DOC Inégalités, inéquations, intervalles (U1/analysis/docinegalites1.fr). Ils ont été conçus dans le groupe WIMS PreSup de l'IREMS de Paris.

Encadrer un binôme sur un intervalle borné

Soit la fonction binôme définie sur l'intervalle .

On cherche à encadrer cette fonction sur sous la forme .

Pour le meilleur encadrement de la fonction , donner le et le .
Les réponses sont des fractions de type ou des entiers.

Encadrer la partie décimale sur un intervalle

Cet exercice comporte 4 étapes.

Soit un réel vérifiant c'est-à-dire .

On note la fonction partie entière et la fonction partie décimale.

1. Valeurs de la partie entière :
  1. La partie entière du réel est égale à : .
  2. La partie entière du réel est égale à : .

Etape 1 : et .

2. Valeurs de la partie décimale :
  1. La partie décimale du réel est égale à : .
  2. La partie décimale du réel est égale à : .

Etape 2 : et .

3. Image par la fonction de l'intervalle .

Choisir la bonne réponse :

La bonne réponse à l'étape 3 est : .

4. Sur l'intervalle s'obtient par le = et le = .

  • le meilleur encadrement de la fonction partie décimale s'obtient par le = et le = .

    • Encadrer un produit d'expressions trigonométriques (coefficients positifs)

    Soit la fonction de deux variables réelles indépendantes et définie par , où les fonctions et sont ainsi définies sur et .

    On cherche à encadrer cette fonction sous la forme .

    Pour le meilleur encadrement de la fonction , donner le et le .

    Encadrer un produit trigonométrique à coefficients réels

    Soit la fonction de deux variables réelles indépendantes et définie par , où les fonctions et sont ainsi définies sur et .

    On cherche à encadrer cette fonction sous la forme .

    Pour le meilleur encadrement de la fonction , donner le et le .

    Encadrer le quotient de deux binômes

    Cet exercice comporte 2 étapes.

    Soit la fonction définie par sur l'intervalle . On cherche son meilleur encadrement sous la forme .

    1. Déterminer les valeurs des deux réels et telles que la fraction s'écrive sous la forme simplifiée .

    Les bonnes réponses à l'étape 1 sont : et , c'est-à-dire .

    2. Déterminer son meilleur encadrement sur l'intervalle par un minorant et par un majorant .
    Saisir chacune des réponses sous la forme d'une fraction irréductible ou d'un entier :

    Encadrer un quotient d'expressions trigonométriques (par étapes)

    Cet exercice comporte 2 étapes.

    1. Soit l'expression où est un réel quelconque.

    On cherche le meilleur encadrement de cette expression par un et par un . Saisir leurs valeurs ci-dessous.

    Le meilleur encadrement de cherché à l'étape 1 est : .

    2. Soit l'expression où et sont des réels quelconques.

    On cherche le meilleur encadrement de cette expression par le et par le . Saisir leurs valeurs ci-dessous.

    Encadrer un quotient d'expressions trigonométriques

    Soit la fonction de deux variables indépendantes et ainsi définie sur .

    Déterminer son meilleur encadrement par un et par un .
    Saisir chacune des réponses sous la forme d'une fraction irréductible ou d'un entier.

    Encadrer le quotient d'un trinôme par un binôme

    Cet exercice comporte 2 étapes.

    Soit la fonction définie par sur l'intervalle . On cherche son meilleur encadrement par un minorant et un majorant .

    1. Déterminer les valeurs des trois réels , et telles que la fonction s'écrive sous la forme simplifiée suivante :

    .

    Les bonnes réponse à la question de l'étape 1 sont : , et , c'est-à-dire .

    2. En tenant compte des valeurs prises par la fonction aux bornes et et de son sens de variation, déterminer son meilleur encadrement sur l'intervalle par un minorant et par un majorant .
    Saisir chacune des réponses sous la forme d'une fraction irréductible ou d'un entier :
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