Une première approche de la fonction exponentielle

Introduction

De nombreux phénomènes physiques ou économiques simples peuvent être modélisés par une fonction $f$ vérifiant, pour tout réel $x$ d'un intervalle $I$, $f\prime (x)=k\times f(x)$ où $k$ est un coefficient réel.

D'où l'importance pratique des équations du type $f\prime =kf$ avec $k$ constante réelle, où l'inconnue $f$ est une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$.
Une telle équation est appelée équation différentielle.

Il est assez facile de montrer que si l'on sait résoudre l'équation différentielle $f\prime =kf$ avec $k=1$, alors on sait résoudre les équations $f\prime =kf$ avec $k$ quelconque.

On va s'intéresser plus particulièrement à l'équation $f\prime =f$ et l'on va chercher toutes les fonctions vérifiant cette équation différentielle en imposant comme condition initiale $f(0)=1$.

Pour aller plus loin, DOC Fonction exponentielle

1. Définition de la fonction exponentielle

Théorème (admis) : il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $ℝ$ telle que $f\prime =f$ et $f(0)=1$.

Définition :

• On appelle fonction exponentielle, et on note exp l'unique fonction $f$ dérivable sur $ℝ$ telle que $f\prime =f$ et vérifiant la condition initiale $f(0)=1$.
• On appelle nombre de Neper, et on note $\mathrm{e}$ l'image de 1 par la fonction exponentielle. On a donc : $\mathrm{e}=\exp (1)$.

2. Propriétés algébriques

Théorème :
Pour tout réel $x$, on a $\exp (x)\times \exp (-x)=1$. Par suite la fonction $x\mapsto \exp (x)$ ne s'annule pas sur $ℝ$.
Pour tous réels $x$ et $y$, on a : $\exp (x+y)=\exp (x)\times \exp (y)$.
Pour tout réel $x$ et tout entier relatif n on a : $\exp (n\times x)=\exp (x{)}^n$.

Démonstration : Ces démonstrations peuvent être passées en première lecture.

• Premier point: on pose $h:x\mapsto \exp (x)\times \exp (-x)$. On montre que $h$ est dérivable sur $ℝ$ et que $h\prime (x)=0$ pour tout réel $x$. Donc, $h$ est constante ; or pour $x=0$ on a $h(0)=1$.
• Second point: pour un réel $y$ quelconque fixé, on montre que la fonction $h:x\mapsto {\displaystyle \frac{\exp (x+y)}{\exp (x)\times \exp (y)}}$ est dérivable sur $ℝ$ et que $h\prime (x)=0$ pour tout réel $x$ ; on en déduit que la fonction $h$ est constante ; or pour $x=0$ on a $h(0)=1$.
• La troisième égalité est admise.

Notation puissance : La fonction exponentielle prolonge aux réels les règles usuelles des exposants entiers.
Pour tout entier relatif n on a en effet : $\exp (n)=\exp (1\times n)=\exp (1{)}^n={\mathrm{e}}^n$.

On étend la notation puissance à tout réel $x$ : $\exp (x)={\mathrm{e}}^x$.

Pour tous réels $x$ et $y$, on a donc les règles suivantes :

$\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^0=1& {\mathrm{e}}^1=\mathrm{e}\\ {\mathrm{e}}^{x+y}={\mathrm{e}}^x\times {\mathrm{e}}^y& {\mathrm{e}}^{-x}={\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^x}}\\ {\left({\mathrm{e}}^x\right)}^y={\mathrm{e}}^{x\times y}& {\mathrm{e}}^{x-y}={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^y}}\end{array}$

Exemples (cliquer sur l'icône pour changer les données) :
${\mathrm{e}}^{-6}={\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^6}}$
${\mathrm{e}}^{x+5}={\mathrm{e}}^x\times {\mathrm{e}}^5$
${\mathrm{e}}^{x-4}={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^4}}$
${\left({\mathrm{e}}^x\right)}^{-8}={\mathrm{e}}^{-8x}$

Propriété : Soit $n$ un entier naturel et $a$ un réel, comme ${\mathrm{e}}^{na}={\left({\mathrm{e}}^a\right)}^n$, la suite ${\mathrm{e}}^{na}$ est une suite géométrique.

Propriété : Pour tout réel $x$ on a : $\sqrt{{\mathrm{e}}^x}={\mathrm{e}}^{{\displaystyle \frac{x}{2}}}$.

Démonstration : d'après les propriétés algébriques de la fonction exp on a :

${\left({\mathrm{e}}^{{\displaystyle \frac{x}{2}}}\right)}^2={\mathrm{e}}^{2\times {\displaystyle \frac{x}{2}}}={\mathrm{e}}^x$

Donc ${\mathrm{e}}^{{\displaystyle \frac{x}{2}}}$ est un réel positif dont le carré est égal à ${\mathrm{e}}^x$ ; c'est donc la racine carrée positive de ${\mathrm{e}}^x$.

Le nombre $\mathrm{e}$ est un irrationnel, comme $\sqrt{2}$ ou . Sa valeur exacte c'est $\mathrm{e}$ !

Dans un calcul exact, on exprimera donc le résultat en fonction de e.
Pour un calcul approché, on utilisera une approximation : $\mathrm{e}\approx \mathrm{2,718}2818...$

Exercices :
Réécriture sous forme d'une seule exponentielle (1)
Réécriture sous forme d'une seule exponentielle (2)
Simplification d'écriture

3. Variations

Sens de variation

Par définition, la fonction exponentielle est dérivable sur $ℝ$ et sa fonction dérivée est identique à elle-même.
Pour tout réel $x$, on a   $\exp \prime (x)=\exp (x)={\mathrm{e}}^x$

Théorème : La fonction exponentielle prend des valeurs strictement positives : pour tout réel $x$, on a ${\mathrm{e}}^x>0$.

Démonstration : Pour tout réel $x$ on peut écrire $\exp (x)=\exp (2\times {\displaystyle \frac{x}{2}})=\exp {\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)}^2$. Or le carré d'un réel est un nombre positif ou nul. Par ailleurs on sait que la fonction exponentielle ne s'annule pas sur $ℝ$. Donc, la fonction exponentielle est strictement positive sur $ℝ$.

Thérorème : La fonction exponentielle est une fonction strictement croissante sur $ℝ$.

Démonstration : conséquence immédiate des deux propriétés précédentes.

Courbe représentative sur [-3 , 4] de la fonction exp

4. Exponentielle d'une fonction affine

Théorème La fonction $f$ définie sur $ℝ$ par $f(x)={\mathrm{e}}^{ax+b}$ est dérivable sur $ℝ$ et pour tout réel $x$, $f\prime (x)=a{\mathrm{e}}^{ax+b}$.

Exemples

• Si $f$ est définie sur $ℝ$ par $f(x)={\mathrm{e}}^{-x}$, alors pour tout réel $x$, on a $f\prime (x)=-{\mathrm{e}}^{-x}$.
• (cliquer sur l'icône pour changer les données) :
  Soit $f$ la fonction définie sur $ℝ$ par $f(x)={\mathrm{e}}^{5x-2}$.
  $f$ est dérivable sur $ℝ$ et, pour tout réel $x$ on a : $f\prime (x)=5{\mathrm{e}}^{5x-2}$.

Fonctions ${\mathrm{e}}^{kx}$ et ${\mathrm{e}}^{-kx}$.

Soit $k$ un réel strictement positif.
• La fonction $x\mapsto {\mathrm{e}}^{kx}$ est strictement croissante sur $ℝ$.
• La fonction $x\mapsto {\mathrm{e}}^{-kx}$ est strictement décroissante sur $ℝ$.

Courbes respectives sur [-3 , 4] des fonctions $x\mapsto {\mathrm{e}}^{3x}$ et $x\mapsto {\mathrm{e}}^{-3x}$ (cliquer sur l'icône pour changer les données) :

introduction de la fonction exponentielle.
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