Exercices sur la dérivée. --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 22 exercices sur la dérivée et son interprétation graphique.

Calcul du nombre dérivé

On considère la courbe , représentant la fonction , définie sur par la relation et un point de .
On a =
En effet . Donner la valeur de , qui correspond au coefficient directeur de la tangente à en .
On a :
On a vu que et que . Quelle est l'équation de la tangente à en ?
On a x +

Dérivée d'une fonction polynôme

On considère la fonction , définie sur par la relation . Calculer .
On a

Dérivée d'un polynôme

On considère la fonction , définie pour réel par .
La fonction dérivée de la fonction est égale à
Effectivement, on a .
Le point de d'abscisse a pour ordonnée .
Effecitvement, on a .
La tangente à au point d'abscisse a pour coefficient directeur .

Dérivée de l'inverse d'une fonction

On considère la fonction définie par la relation .
Pour quelle valeur de la fonction n'est-elle pas définie ? ? La fonction dérivée de est . Oui, on a bien .
Sur l'intervalle , on peut affirmer que la fonction est .

Equations du second degré

Résoudre l'équation du second degré:
Combien cette équation possède-t-elle de solutions ?

Effectivement, cette équation possède .

L'ensemble des solutions de cette équation est:
Remarque: S'il y a plusieurs solutions, séparer par des virgules.

Factorisation d'un polynôme de degré 2

On considère la fonction .
Les solutions de l'équation sont: . Le polynôme s'écrit sous forme factorisée: .

Fonction dérivée

animate 10,0.5,0 xrange , yrange , linewidth 1 parallel ,,,,0,1,,green parallel ,,,,1,0,,green linewidth 2 line ,0,,0,blue line 0,,0,,blue arrow 0,0,1,0,10,blue arrow 0,0,0,1,10,blue plot red, plot green, text green,+0.2,,normal,A
On considère la courbe , représentant la fonction et sa tangente au point d'abscisse , représentées ci-contre. Déterminer par lecture graphique la valeur .
On a :

Identification de coefficients

Soit . L'expression est de la forme .
Quelle est la valeur de ? .

Signe d'un trinôme

Résoudre l'inéquation du second degré:
L'ensemble des solutions de cette inéquation est:

Lecture graphique du nombre dérivé (signe)

animate 10,0.5,0 xrange , yrange , linewidth 1 parallel ,,,,0,1,,green parallel ,,,,1,0,,green linewidth 2 line ,0,,0,blue line 0,,0,,blue arrow 0,0,1,0,10,blue arrow 0,0,0,1,10,blue plot red, plot green, text green,+0.2,,normal,A
On considère la courbe , représentant la fonction définie sur par
,
ainsi que la droite , tangente à au point . La courbe et sa tangente sont représentées ci-dessous. Par lecture graphique, on peut affirmer que:

Lecture graphique du nombre dérivé

animate 10,0.5,0 xrange , yrange , linewidth 1 parallel ,,,,0,1,,green parallel ,,,,1,0,,green linewidth 2 line ,0,,0,blue line 0,,0,,blue arrow 0,0,1,0,10,blue arrow 0,0,0,1,10,blue plot red, plot green, text green,+0.2,,normal,A
On considère la courbe , représentant la fonction définie sur par
,
ainsi que la droite , tangente à au point .

La courbe et sa tangente sont représentées ci-contre. Déterminer par lecture graphique la valeur .

On a : .

Lecture graphique

animate 10,0.5,0 xrange , yrange , linewidth 1 parallel ,,,,0,1,,grey parallel ,,,,1,0,,grey linewidth 2 line ,0,,0,blue line 0,,0,,blue line 1,-0.2,1,0.2, black line -0.2,1,0.2,1, black text black, 0.9,-0.25,medium, 1 text black, -0.5,1.25,medium, 1 text black, -0.5,-0.25,medium, "0" point 0,0, black hline 0,0, black vline 0,0, black plot red, plot green, linewidth 5 point , , black text black,+0.2,,large,A
On considère la courbe , tracée en rouge, représentant fonction polynôme de degré 2. Sa tangente au point A d'abscisse a été tracée en vert.

Déterminer par lecture graphique :

=
=

Lecture graphique (précis)

On considère la courbe , tracée en bleu, représentant une fonction polynôme de degré 2 ou 3. Sa tangente au point A d'abscisse a été tracée en vert. Vous devez déterminer par lecture graphique et .

Souhaitez-vous, avant de répondre, avoir un quadrillage plus fin?

Déterminer par lecture graphique :


=

Lien entre variation et signe de la dérivée 1

On considère une fonction , dont la dérivée est définie par .
Sur l'intervalle ; la fonction est : .

Lien entre variation et signe de la dérivée 2

On considère une fonction , dont le tableau de variations est donné ci-dessous:
+infty
Sur l'intervalle ; , la dérivée de la fonction est :

Lien entre variation et signe de la dérivée 3

On considère une fonction , dont la dérivée est définie par la relation .
Sur l'intervalle ; la fonction est :

Variations d'un polynôme

On considère la fonction

Calculer la fonction dérivée de la fonction .

On a .

Pour quelles valeurs de , la courbe admet-elle une tangente horizontale au point d'abscisse ?

Sur l'intervalle ; la fonction est :

Variations d'un polynôme: graphique

xrange , yrange , linewidth 1 parallel ,0,,0,0,,5,green parallel ,0,,0,0,-,5,green parallel ,,,,1,0,,green linewidth 2 line ,0,,0,blue line 0,,0,,blue arrow 0,0,1,0,10,blue arrow 0,0,0,1,10,blue plot red,
On considère une fonction . On a représenté ci-contre, la représentation graphique de la fonction dérivée de la fonction .
Sur l'intervalle ; la fonction est :

Variations d'un polynôme: graphique 2

xrange , yrange , linewidth 1 parallel ,0,,0,0,,5,green parallel ,0,,0,0,-,5,green parallel ,,,,1,0,,green linewidth 2 line ,0,,0,blue line 0,,0,,blue arrow 0,0,1,0,10,blue arrow 0,0,0,1,10,blue plot red,
On considère une fonction , dont la représentation graphique est donné ci-contre.
Sur l'intervalle ; la fonction dérivée est : .

Etude de fonction 2

On considère une fonction , définie sur par la relation .
La dérivée de la fonction est donnée par Oui, on a , les solutiuons de l'équation sont . Sur l'intervalle , la fonction est . Construire maintenant le tableau de variations de la fonction et en déduire le nombre de solutions de l'équation .
La fonction s'annule fois sur .
Les valeurs , et donc . Tandis que a pour image et pour image et du coup solutions. Alors que le k et le nk est

Etude d'un polynôme

On considère une fonction , définie sur par la relation .
La dérivée de la fonction est donnée par . Oui, on a , les solutions de l'équation sont . Sur l'intervalle , la fonction est . Construire maintenant le tableau de variations de la fonction et en déduire les extrema de cette fonction sur l'intervalle
Sur cet intervalle le minimum de est et son maximum .
Toujours à partir du tableau de variations de , déterminer le nombre de solutions nombre de solutions de l'équation .
La fonction s'annule fois sur .
Par , a pour image et pour image . L'intervalle considéré est et les images des bornes de cet intervalle sont et . Alors que le k et le nk est et le nombre de racines est . Les extrema sont et !

Etude de fonction 1

On considère une fonction , définie sur par la relation . Construire le tableau de variations de la fonction et en déduire le nombre de solutions de l'équation .
La fonction s'annule fois sur .
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