DOC Chiffres significatifs

Sommaire

Introduction

Contexte

En science, lorsque l'on manipule des grandeurs expérimentales, il ne s'agit jamais de valeurs exactes car elles sont toujours entachées d'une certaine incertitude liée à la mesure. Cette problématique qui doit impérativement être prise en compte en science expérimentale ou lors des séances de Travaux Pratiques impose que le résultat m d'une mesure M doit toujours être accompagné non seulement de son unité mais également d'une incertitude $\Delta M$ et se présenter sous la forme $M=m+\Delta M$ unité. Par exemple, la masse d'une personne mesurée avec un pèse-personne standard sera exprimée $80,4\pm 0,1$ kg. L'objectif de ce document est d'apprendre à donner le résultat d'une mesure ou d'un calcul réalisé à partir de données expérimentales dans une forme adaptée à la précision des données. Pour ce faire, les expérimentateurs utilisent la notion de chiffres significatifs. Les problématiques d'erreur et d'incertitudes ne seront pas développées dans ce cours. Le lecteur intéressé est invité à se reporter à d'autres références à propos de cette problématique.

Valeur et chiffres significatifs d'une grandeur

Pour décrire une grandeur mesurée ou calculée qui sera appelée "mesurande", deux paramètres vont alors être pris en considération :

Pour tous

• Détermination du nombre de chiffres significatifs
• Décimales d'un nombre et chiffres significatifs
  • Nombres entiers
  • Nombres décimaux
  • Nombres rationnels non décimaux
  • Nombres irrationnels
• Arrondi d'un nombre
• Chiffres significatifs dans les opérations
  • Produit, quotient et chiffres significatifs
  • Somme, différence et décimales
  • Conversion

Pour les étudiants de Licence et au-delà

• Logarithmes, exponentielle, puissances de 10
• Ordre de grandeur

Détermination du nombre de chiffres significatifs

Exemples.

• Le nombre $\mathrm{67,043}$ possède $5$ chiffres significatifs $6$ $7$ $0$ $4$ $3$. Dans cet exemple, le zéro est captif.
• Le nombre d'Avogadro $\mathrm{6,022}1367\times {10}^{23}$ est ici donné avec $8$ chiffres significatifs $6$ $0$ $2$ $2$ $1$ $3$ $6$ $7$. Le zéro compris entre le $6$ et le $2$ est un zéro captif.
• Le nombre $\mathrm{0,054}$ ou $5,4\times {10}^{-2}$ possède $2$ chiffres significatifs $5$ et $4$. Dans l'écriture $\mathrm{0,054}$, les zéros sont des zéros du début.
• Le nombre $\mathrm{0,520}0$ possède $4$ chiffres significatifs $5$ $2$ $0$ $0$. Dans cet exemple, les zéros de droite sont des zéros de la fin.
• Le nombre $\mathrm{000,002}5010600$ possède $8$ chiffres significatifs $2$ $5$ $0$ $1$ $0$ $6$ $0$ $0$. Ici, dans l'écriture initiale, les $5$ zéros de gauche sont des zéros du début qui ne sont pas significatifs. Le zéro compris entre le $5$ et le $1$ ainsi que celui compris entre le $1$ et le $6$ sont des zéros captifs. Les $2$ zéros de droite sont des zéros de la fin.
• Pour les zéros de la fin dans un nombre entier qui n'est pas écrit en notation scientifique, on peut citer les exemples suivants basés sur le nombre $26$ $000$.
  • Ainsi, si Jean dit qu'il vient de payer sa voiture neuve $26$ $000$ €, ici, ce nombre $26$ $000$ possède autant de chiffres significatifs que nécessaire dans un calcul car, dans l'unité de mesure monétaire qu'est l'euro, Jean a payé sa voiture exactement $26$ $000$ €. Dans le cas de ce nombre entier, les zéros de droite sont donc significatifs. En notation scientifique, ce nombre s'écrit $\mathrm{2,600}0\times {10}^4$.
  • Avec une unité de mesure différente qui est maintenant l'individu d'une population, lorsque les autorités françaises ont besoin d'avoir une valeur précise du nombre d'habitants d'une ville, elles effectuent un recensement en demandant à chaque famille de remplir un questionnaire précisant le nombre de personnes vivant dans chaque foyer. Ainsi, le recensement de $2019$ a conduit à une valeur exacte de la population de la ville de Biarritz de $25$ $787$ habitants. Toutefois, en raison des naissances, des décès et des déménagements, cette population est en perpétuelle évolution et le recensement possède un coût non négligeable pour les autorités. Par conséquent, s'il est possible de se contenter d'une valeur moins précise de la population de la ville de Biarritz (par exemple pour définir s'il s'agit d'une petite ville - commune entre $2$ $500$ et $20$ $000$ habitants - ou d'une ville moyenne - commune entre $20$ $000$ et $100$ $000$ habitants), on dira, avec $2$ chiffres significatifs, que la population de Biarritz est de $26$ $000$ habitants. Biarritz est donc une ville moyenne et, dans le cas de ce nombre entier, les zéros de droite sont non significatifs. En notation scientifique, il s'écrit $2,6\times {10}^4$.

Décimales d'un nombre et chiffres significatifs

Comme annoncé dans l'introduction figurant dans la page "Sommaire" de ce document WIMS, l'objectif principal de ce cours est de savoir présenter le résultat d'un calcul réalisé à partir de données expérimentales ("mesurandes") avec une précision cohérente avec celle des mesurandes utilisés dans le calcul. Cependant, la plupart du temps, les calculs font intervenir à la fois des mesurandes mais également des nombres. A titre d'exemple, on peut citer le calcul du volume d'une sphère à partir du mesurande qu'est son rayon suivant la formule ${\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3$ qui fait intervenir, en plus du mesurande r, le nombre rationnel ${\displaystyle \frac{4}{3}}$ et le nombre réel $\pi$. Il convient donc d'expliquer pourquoi ces nombres n'impactent pas la précision du résultat des calculs.

Dans l'écriture en base 10, tout nombre possède une partie entière et un développement décimal. Ce développement décimal peut comporter un nombre fini ou infini de décimales (si on ne compte pas les zéros apparaissant à la fin).

• Nombres entiers
• Nombres décimaux
• Nombres rationnels non décimaux
• Nombres irrationnels

Nombres entiers

Exemples.

• Le nombre d'œufs dans une douzaine est exactement de $12$. Il s'écrit soit $\mathrm{12,000}0$ ... soit $\mathrm{11,999}9$ ... . Ici, la notation $\mathrm{12,000}0$ ... correspond au développement décimal illimité propre de l'entier $12$ alors que la notation $\mathrm{11,999}9$ ... correspond à son développement décimal illimité impropre (puisqu'à partir d'un certain rang - ici la première décimale - toutes les décimales sont égales à $9$). Par conséquent, lorsque le nombre d'œufs d'une douzaine est utilisé dans un calcul, il ne limite pas la précision du résultat. Cet exemple correspond à un entier issu d'un dénombrement tout comme le nombre de molécules contenues dans un certain volume qui, lorsqu'il sera utilisé dans un calcul, ne limitera pas la précision du résultat.
• De la même façon, une longueur de $1$ yard contient exactement $3$ pieds. Il s'agit ici d'un facteur de conversion d'unités qui ne limitera pas la précision du résultat.

Nombres décimaux

Exemples.

• Le nombre décimal ${\displaystyle \frac{1256}{100}}$ vaut $12,56$ dont le développement décimal illimité propre est $\mathrm{12,560}000$ ... et dont le développement décimal illimité impropre est $\mathrm{12,559}999$ ... .
• Le nombre décimal ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ vaut $0,25$ dont le développement décimal illimité propre est $\mathrm{0,250}000$ ... et dont le développement décimal illimité impropre est $\mathrm{0,249}999$ ... .
• Dans la mesure où les nombres décimaux constituent un sous-ensemble des nombres rationnels puisqu'ils peuvent s'écrire comme une fraction d'entiers avec le dénominateur qui est une puissance de $10$ (par exemple, $\mathrm{0,003}57$ s'écrit ${\displaystyle \frac{357}{{10}^5}}$), ils ne limitent pas la précision du résultat lorsqu'ils sont impliqués dans des calculs.

Nombres rationnels non décimaux

Exemples.

• Le nombre rationnel ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ qui vaut $\mathrm{0,333}3$ ... a un développement illimité périodique dont la période est de $1$ et qui est qualifié de simple car il démarre dès la première décimale. On pourra le noter 0,3, notation dans laquelle la période est soulignée.
• Le nombre rationnel ${\displaystyle \frac{4}{3}}$ que l'on note parfois aussi 4/3 est un exemple de fraction (ou quotient d'entiers). Il correspond à l'écriture $\mathrm{1,333}3$ ... . Il possède un développement périodique simple (puisque la périodicité démarre dès la première décimale) avec une période de $1$ et se note 1,3.
• La division de $83$ par $70$ fait également apparaître une périodicité (qui se démontre). En effet, ${\displaystyle \frac{83}{70}}=1,1857142857142857142$. On écrit alors ${\displaystyle \frac{83}{70}}=$ 1,1857142, notation dans laquelle la période de $6$ est soulignée. Il s'agit d'un développement illimité périodique mixte puisqu'il commence par une pré-période qui, ici, ne comprend que le chiffre $1$.
• Un autre exemple de nombre rationnel qui présente un développement illimité mixte est ${\displaystyle \frac{51}{130}}$ qui vaut $0,3923076923076923076$ soit 0,3923076 avec une période de $6$ et une période qui, ici, ne comprend que le chiffre $3$.

Nombres irrationnels

Dans le cadre des calculs usuels, on n'est donc pas limité par le nombre de décimales utilisables et on est invité à fournir le résultat des calculs faisant intervenir ces nombres irrationnels avec un nombre de décimales cohérent avec les autres données.

Exemples.

• Le nombre irrationnel $\pi$ vaut $\mathrm{3,141}5927$ ... . Si l'on souhaite calculer le périmètre du rond central d'un terrain de football qui a un diamètre de $9,15$ m (avec $3$ chiffres significatifs), le calcul à la calculatrice de $\pi \times 9,15$ conduit à $28,7$ m avec 3 chiffres significatifs comme le diamètre qui est ici la moins précise des grandeurs (voir la page concernant les chiffres significatifs dans les opérations et plus spécifiquement Produit, quotient et chiffres significatifs ). Par contre, si l'on utilise $3,1$ comme valeur approché de $\pi$ avec $2$ chiffres significatifs seulement, on obtient $28$ m (avec $2$ chiffres significatifs seulement) pour le périmètre du rond central.
• Le nombre irrationnel $\sqrt{2}$ vaut $\mathrm{1,414}1$ ... . Une voiture de masse m $=1,45\times {10}^3$ kg et dont l'énergie cinétique est Ec $=1,00\times {10}^6$ J roule à une vitesse $v=\sqrt{2}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{Ec}}{m}}}=37,1$ $\mathrm{m}$. ${\mathrm{s}}^{-1}$ $=134$ $\mathrm{km}$. ${\mathrm{h}}^{-1}$ avec $3$ chiffres significatifs comme les données. Par contre, si l'on utilise $1,4$ comme valeur approchée de $\sqrt{2}$ avec $2$ chiffres significatifs seulement, on obtient $v=37$ $\mathrm{m}$. ${\mathrm{s}}^{-1}$ $=1,{3.10}^2$ $\mathrm{km}$. ${\mathrm{h}}^{-1}$ avec $2$ chiffres significatifs seulement.
• La base des logarithmes naturels qui est le nombre d'Euler $\mathrm{e}$ vaut $\mathrm{2,718}28$ ... . Lorsque la valeur de ce nombre d'Euler $\mathrm{e}$ déterminée par la méthode numérique utilisée dans les calculatrices modernes intervient dans un calcul, elle ne limite pas la précision du résultat.

Arrondi d'un nombre

Pour déterminer les chiffres significatifs d'une valeur mesurée ou du résultat d'une série de calculs, on doit procéder à un arrondi. Dans ce document, on se limitera à la méthode d'arrondi la plus courante appelée arrondi au plus proche ou arrondi arithmétique. Toutefois, d'autres méthodes d'arrondis peuvent être envisagées telles que l'arrondi au pair le plus proche, l'arrondi stochastique, la troncature, l'arrondi par partie entière et l'arrondi par partie entière par excès. Elles ne seront pas évoquées dans ce document.

Chiffres significatifs dans les opérations

Exemples.

• Une longueur de $3,65$ m $(3$ CS) est mesurée avec une moins bonne précision qu'une longueur de $\mathrm{3,654}$ m $(4$ CS).
• La masse d'une personne de $47$ kg $(2$ CS) est mesurée avec une moins bonne précision que la masse de son cerveau de $1,43\times {10}^3$ g $(3$ CS).

Les différentes règles.

• Produit, quotient et chiffres significatifs
• Somme, différence et décimales
• Conversion

Produit, quotient et chiffres significatifs

Exemples.

• Sur la calculatrice $0,42\times \mathrm{1,023}6=\mathrm{0,429}912$ dont on doit fournir une valeur arrondie avec $2$ CS (comme $0,42$). Le chiffre significatif le plus à droite noté P vérifiant le nombre de CS attendu est $2$. Le chiffre suivant noté S est un $9$. P est donc majoré de $1$ et la valeur arrondie avec $2$ CS est $0,43$.
• La surface d'une pièce de $\mathrm{3,654}$ m de longueur et de $4,53$ m de largeur s'exprime comme le produit de ces deux valeurs avec $3$ CS (précision de la largeur). Ici cette surface vaut $16,6$ ${\mathrm{m}}^2$.
• Sur la calculatrice ${\displaystyle \frac{\mathrm{5,246}}{1,20}}=\mathrm{4,371}666667$ dont on doit fournir une valeur arrondie avec $3$ CS (comme $1,20$). Le chiffre significatif le plus à droite noté P vérifiant le nombre de CS attendu est $7$. Le chiffre suivant noté S est un $1$. P est donc conservé et la valeur arrondie avec $3$ CS est $4,37$.
• La fraction de la masse du cerveau de $1,43\times {10}^3$ g $(3$ CS) sur la masse de la personne de $47$ kg $(2$ CS) s'exprime comme le quotient de ces deux valeurs dans la même unité avec $2$ CS (précision de la masse de la personne). Ici, cette fraction vaut $3,0\times {10}^{-2}$. Par conséquent, le pourcentage de la masse du cerveau est de $3,0\%$.

Somme, différence et décimales

Exemples.

• Sur la calculatrice $\mathrm{5,101}+14,28=\mathrm{19,381}$ dont on doit fournir une valeur arrondie avec $2$ décimales (comme $14,28$). La décimale significative la plus à droite notée P est $8$. La décimale suivante notée S est un $1$. P est donc conservé et la valeur arrondie avec deux décimales est $19,38$.
• Le périmètre d'une pièce de $\mathrm{3,654}$ m de longueur et de $4,53$ m de largeur s'exprime comme la double somme de la longueur et de la largeur avec $2$ décimales (nombre de décimales de la largeur). Ici ce périmètre vaut $16,39$ m.
• Sur la calculatrice $162,4-\mathrm{17,842}=\mathrm{144,558}$ dont on doit fournir une valeur arrondie avec $1$ décimale (comme $162,4$). La décimale significative la plus à droite notée P est donc $5$. La décimale suivante notée S est un $5$. P est donc majoré de $1$ et la valeur arrondie avec $1$ décimale est $144,6$.
• Sur la calculatrice $\pi -2,23=\mathrm{0,911}59\dots$ dont on doit fournir une valeur arrondie avec $2$ décimales (comme $2,23$). La décimale significative la plus à droite notée P est donc $1$. La décimale suivante notée S est un $1$. P est donc conservé et la valeur arrondie avec $2$ décimales est $0,91$.
• Le prix d'un tee-shirt est de $29,99$ €. Le vendeur applique une réduction de $25\%$. La réduction à appliquer est donc de $\mathrm{7,497}5$ € en conservant toutes les décimales puisque, dans les calculs, on doit conserver tous les chiffres jusqu'au résultat final (voir Arrondi d'un nombre ). Le prix remisé est donc $29,99$ € - $\mathrm{7,497}5$ € à présenter avec $2$ décimales (nombre de décimales du prix initial) soit $22,49$ €.
  Remarque : cet exemple peut également être traité comme suit. Le prix remisé correspond à $75\%$ du prix initial. Le prix remisé est donc $29,99\times 0,75=\mathrm{22,492}5$ €. $75\%$ a un nombre infini de chiffres significatifs. Ici, il faut appliquer la règle sur les produits et les quotients. Le résultat doit donc être fourni avec le même nombre de chiffres significatifs que $22,49$ € soit $4$ CS. Le prix remisé est donc $22,49$ €.

Conversion

Exemples.

• La masse du cerveau d'une personne est de $1,43$ kg avec $3$ CS. Le facteur de conversion du kg en g est exactement $1$ kg $={10}^3$ g avec un nombre infini de chiffres significatifs. Le résultat de la conversion aura donc $3$ CS (précision de la masse). Exprimée en grammes, la masse de ce cerveau est donc $1,43\times {10}^3$ g
• L'énergie de l'état fondamental de l'atome d'hydrogène est de $-\mathrm{13,606}$ eV ici avec $5$ CS. Le facteur de conversion de l'électron-Volt (eV) en joules (J) est $1$ eV $=1,6\times {10}^{-19}$ J ici avec $2$ CS seulement. Le résultat de la conversion aura donc $2$ CS (précision du facteur de conversion). Exprimée en joules, l'énergie de l'état fondamental de l'atome d'hydrogène est donc $-2,2\times {10}^{-18}$ J.

Logarithmes, exponentielle, puissances de 10

En physique ou en chimie, par exemple avec le logarithme népérien, on est souvent amené à calculer $\ln ({\displaystyle \frac{P}{P^0}})$ avec $P^0=1$ $\mathrm{bar}$ ou $\ln ({\displaystyle \frac{C}{C^0}})$ avec $C^0=1$ $\mathrm{mol}$. ${\mathrm{L}}^{-1}$. Dans ces expressions, $P^0$ et $C^0$ sont des entiers dont la précision ne limite pas celle du résultat du calcul. Dans de tels cas de figure, c'est donc uniquement le nombre de chiffres significatifs de la pression $P$ ou de la concentration $C$ mesurée qui va impacter, d'abord, la précision de l'argument du logarithme népérien et, ensuite, du résultat du calcul global.

Exemple 1.

Avec la virgule comme séparateur décimal : $\ln (37,5)=\mathrm{3,624}340\dots$ donc $\ln (37,5)\approx 3,62$.

Avec le point comme séparateur décimal : $\ln (37.5)=3.624340\dots$ donc $\ln (37.5)\approx 3.62$.

Exemple 2 détaillé.

Les nombres $4,5\times {10}^3$ et $4,5\times {10}^4$ ont chacun deux chiffres significatifs. Les valeurs $\log (4,5)=\mathrm{0,653}2\dots$, $\log (4,5\times {10}^3)=\mathrm{3,653}2\dots$ et $\log (4,5\times {10}^4)=\mathrm{4,653}2\dots$ illustrent que la partie entière du logarithme décimal d'un nombre n'est que la valeur de l'exposant de $10$ dans l'écriture scientifique du nombre. Ainsi, il faut écrire $\log (4,5)\approx 0,65$, $\log (4,5\times {10}^3)\approx 3,65$ et $\log (4,5\times {10}^4)\approx 4,65$.

Exemple 3.

Avec la virgule comme séparateur décimal : $\log (5\times {10}^{-2})=-\mathrm{1,301}029\dots$ et on prendra $\log (5\times {10}^{-2})\approx -1,3$ (et non pas $\log (5\times {10}^{-2})\approx -1$).

Avec le point comme séparateur décimal : $\log (5\times {10}^{-2})=-1.301029\dots$ et on prendra $\log (5\times {10}^{-2})\approx -1.3$ (et non pas $\log (5\times {10}^{-2})\approx -1$).

Ici, on conserve une seule décimale parce que l'argument $5\times {10}^{-2}$ a un seul chiffre significatif.

Exemple 4.

Avec la virgule comme séparateur décimale : $\exp (6,45)=\mathrm{632,702}29\dots$ conduit à $\exp (6,45)\approx 6,33\times {10}^2$.

Avec le point comme séparateur décimale : $\exp (6.45)=632.70229\dots$ conduit à $\exp (6.45)\approx 6.33\times {10}^2$.

Exemple 5.

Avec la virgule comme séparateur décimal : ${10}^{2,62}=\mathrm{416,869}3\dots$ conduit à ${10}^{2,62}\approx 4,2\times {10}^2$.

Avec le point comme séparateur décimal : ${10}^{2.62}=416.8693\dots$ conduit à ${10}^{2.62}\approx 4.2\times {10}^2$.

Ordre de grandeur

Exemples.

• 2,3456789e+10 s'arrondit en $2\times {10}^{10}$. Son ordre de grandeur est donc ${10}^{10}$.
• 8,7654321e+10 s'arrondit en $8\times {10}^{10}$. Son ordre de grandeur est donc ${10}^{11}$.
• 2,3456789e-10 s'arrondit en $2\times {10}^{-10}$. Son ordre de grandeur est donc ${10}^{-10}$.
• 8,7654321e-10 s'arrondit en $8\times {10}^{-10}$. Son ordre de grandeur est donc ${10}^{-9}$.