Doc Polyèdres convexes semi-réguliers

Sommaire

Ce document rédigé pour les étudiants de la licence scientifique générale (L3 pour des futurs professeurs des écoles à l'université Paris-Sud) accompagne une partie du cours de géométrie basé sur l'ouvrage de Daniel Perrin : Mathématiques d'école : nombres, mesures et géométrie publié par Editions Cassini (402 p. ISBN 978-2-84225-158-1) . On y fait référence par ME.

ME exercice 187, 185 renvoie à l'exercice 187 de la nouvelle édition, 185 de la première. De même pour les pages ou les propositions.
ME VI.1. renvoie à la partie 1 du chapitre 6.

Le but de ce document est de décrire les polyèdres convexes semi-réguliers. Dans le problème I de [ME.IX] (page 292, 283 ; corrigé page 388, 374), on montre que les polyèdres décrits ici sont les seuls satisfaisant à la définition.

  1. Polyèdres convexes
  2. Les polyèdres réguliers ou solides de Platon.
  3. Les polyèdres semi-réguliers
  4. Exercices de synthèse
  5. Index des polyèdres
  6. Références

Pour voir un polyèdre, cliquez sur son nom et soyez patient. Les figures mobiles utilisées pour illustrer ce document sont issues de l' outil polyèdres créé par Bernadette Perrin-Riou sans lien de parenté avec le précédent . En cas de problème avec l'affichage des figures, il faut vérifier la compatibilité entre le navigateur et la version de Java ou changer de navigateur.


Définitions et premières propriétés.

Nous rappellons ici les définitions et les résultats présentés dans [ME.IX.1 et 2].

Définition : Polyèdre convexe

  1. On appelle polyèdre convexe un solide (plein) P vérifiant les propriétés suivantes :
    1. P est l'intersection d'un nombre fini de demi-espaces fermés E i limités par des plans H 1, H 2 ..., H n (on prendra un système minimal)
    2. P est borné
    3. P n'est pas contenu dans un plan
  2. Les faces d'un polyèdre convexe sont les intersections de P avec les plans frontières H i. Leur réunion est la frontière de P. Les faces sont des polygones plans convexes dont les côtés sont les arêtes du polyèdre et dont les sommets sont les sommets du polyèdre.

Exercice : Explicitez cette définition pour un cube, une pyramide.

Propriétés

  1. Le nombre de côtés d'une face est au moins 3.
  2. Le nombre d'arêtes aboutissant en un sommet est égal au nombre de faces aboutissant en ce même sommet et ce nombre est au moins 3.
  3. Une arête est commune à deux faces exactement et joint deux sommets.
  4. Règle de la somme des angles
  5. Formule d'Euler

Règle de la somme des angles

Patron d'un sommet

On appellera patron du sommet A du polyèdre P une figure plane de toutes les faces aboutissant en A obtenue après découpage selon une arête aboutissant en A et mise à plat.

Voici le patron d'un sommet de cube :

Aidez vous d'un tel patron pour visualiser la règle de la somme des angles.

Règle de la somme des angles

Si A est un sommet de P, la somme des angles (mesurés en degrés) en A de toutes les faces aboutissant en A, est strictement inférieure à 360°.

Une démonstration de cette règle assez évidente visuellement est proposée dans l'annexe du chapitre IX [ME page 298, 280].

La somme des angles en un sommet de cube est 270°.

Formule d'Euler

Soit P un polyèdre convexe. On note s, a et f  ses nombres de sommets, d'arêtes  et de faces. La formule d'Euler relie s, a et f :
sa+f=2

Une démonstration de cette formule basée sur la formule de Girard est donnée en [ME.IX.2]

Pour un cube, on a : s=8, a=12 et f=6.
Pour une pyramide à base pentagonale, on a : s=6, a=10 et f=6.

Polyèdres réguliers : Définition et possibilités

Nous rappellons ici les définitions et les résultats présentés dans [ME.IX.3].

Définition : Polyèdre convexe régulier

On dit qu'un polyèdre P convexe est régulier si les faces de P sont des polygones réguliers ayant tous le même nombre p de côtés et si en chaque sommet de P aboutissent le même nombre q de faces (ou d'arêtes).

Notation : Un polyèdre régulier est caractérisé par la liste de ses faces (notées par leurs nombres de côtés) en un sommet. On appellera symbole du polyèdre cette liste (voir la définition générale du symbole ). Par exemple, le polyèdre dont toutes les faces sont des triangles qui se groupent par 4 en chaque sommet se note (3,3,3,3) .

Histoire : Les polyèdres convexes réguliers sont aussi appelés solides de Platon (voir [ME.IX. Introduction])

Les possibilités

En respectant la règle de la somme des angles ,  combien peut-on mettre de triangles autour d'un sommet  d'un polyèdre régulier ?
Voici les patrons possibles pour un sommet entouré de triangles :

Combien peut-on mettre de carrés autour d'un sommet  ?  de pentagones ?
Voici les patrons possibles pour un sommet entouré de carrés, de pentagones :


Combien peut-on mettre d'hexagones autour d'un sommet  ?  d'heptagones ? ... La somme des angles de trois hexagones, heptagones ... dépasse 360°. Donc les polyèdres réguliers ont des faces triangulaires, carrées ou pentagonales.

En résumé, il n'y a que cinq possibilités que nous étudions à la page suivante.

Liste des polyèdres réguliers

Autour d'un sommet d'un polyèdre régulier, on peut mettre 3, 4 ou 5 triangles, 3 carrés ou 3 pentagones. Il y a donc 5 symboles possibles pour un polyèdre régulier.

En utilisant la formule d'Euler , on détermine à partir du symbole d'un polyèdre régulier (ou liste des faces en un sommet) le nombre s de ses sommets, a de ses arêtes, f de ses faces (voir démonstration de [ME.IX.3.3]). Ensuite, il reste à le construire. Le symbole détermine complètement le polyèdre régulier et son nom dépend du nombre de ses faces :

Le polyèdre (3,3,3) est un tétraèdre et possède 4 faces (Le voir et le faire tourner) .
Le polyèdre (3,3,3,3) est un octaèdre et possède 8 faces (Le voir et le faire tourner) .
Le polyèdre (3,3,3,3,3) est un icosaèdre et possède 20 faces (Le voir et le faire tourner) .
Le polyèdre (4,4,4) est un cube ou hexaèdre et possède 6 faces (Le voir et le faire tourner) .
Le polyèdre (5,5,5) est un dodécaèdre et possède 12 faces (Le voir et le faire tourner) .

Exercices :
  1. Apprenez à les reconnaître !
  2. Apprenez à écrire leur nom !

Polyèdres réguliers en dualité, nombres de sommets et de faces

Si P est un polyèdre régulier, imaginons le polyèdre Q dont les sommets sont les centres des faces de P : Le polyèdre Q est régulier, on l'appelle dual de P. Par exemple si P est un cube, Q est un octaèdre. Le dual de Q est un homothétique de P. Donc le dual d'un octaèdre est un cube. Le nombre de sommets de Q est le nombre de faces de P et réciproquement.

Connaître le dual d'un polyèdre régulier permet de retenir son nombre de sommets, le nombre de faces étant indiqué par le nom d'un polyèdre régulier, il suffit de connaître la formule d'Euler pour calculer le nombre d'arêtes. Evidemment, un polyèdre et son dual ont même nombre d'arêtes ( Les nombres de sommets et de faces étant échangés, la formule d'Euler donne le même nombre d'arêtes. ).

Le dual d'un tétraèdre est un tétraèdre, celui d'un cube un octaèdre, celui d'un docécaèdre est un icosaèdre.

polyèdre dual
tétraèdre
(3,3,3)
s=4 a=6 f=4
Voir son dual
cube
(4,4,4)
s=8 a=12 f=6
Voir son dual
octaèdre
(3,3,3,3)
s=6 a=12 f=8
Voir son dual
dodécaèdre
(5,5,5)
s=20 a=30 f=12
Voir son dual
icosaèdre
(3,3,3,3,3)
s=12 a=30 f=20
Voir son dual

Mémorisez les caractéristiques des polyèdres de Platon !

Les polyèdres semi-réguliers

Définition. [ME.IX.page 292, 283] Un polyèdre semi-régulier est un polyèdre convexe dont toutes les faces sont des polygones réguliers et tel qu'en chaque sommet aboutissent le même nombre de faces de chaque type et dans le même ordre.

Un polyèdre régulier est semi-régulier.

Toutes les arêtes ont même longueur et les faces de même type sont isométriques.

Remarque : Pour se débarrasser de la paire de faux jumeaux qui ont même symbole , il faudrait affiner la définition. Mais, pour nos objectifs, cet énoncé suffit.

Symbole d'un polyèdre semi-régulier

Définition. [ME.IX. page 293, 284] On appelle symbole d'un polyèdre semi-régulier une suite des nombres de côtés des faces aboutissant en un sommet, dans l'ordre d'adjacence. On le note (n 1,n 2,...n q). Par permutation circulaire et retournement, on déduit d'un symbole tous les symboles possibles pour un polyèdre donné. Usuellement, on appelle le symbole du polyèdre semi-régulier celui parmi les symboles qui est le premier dans l'ordre lexicographique. En particulier n 1 est le nombre de côtés de la plus petite face.

On gardera ces notations tout au long de ce document : q est le nombre de faces aboutissant en un sommet et n 1 est le nombre de côtés de la plus petite face. La règle de la somme des angles permet d'affirmer que q et n 1 sont inférieurs ou égaux à 5.

L'ordre lexicographique est l'ordre utilisé pour ranger les mots dans un dictionnaire. On trie les mots par la première lettre, puis on range ceux qui ont la même première lettre par ordre de la seconde lettre ... Le grand rhombicuboctaèdre admet pour symboles rangés dans l'ordre lexicographique : (4,6,8), (4,8,6), (6,4,8), (6,8,4), (8,4,6), (8,6,4).

Le symbole détermine complètement la combinatoire d'un polyèdre, c'est-à-dire les nombres de ses sommets, arêtes et faces de chaque type (voir ici pour un exemple).

On ne cherche pas à démontrer que le symbole détermine un polyèdre semi-régulier à similitude près.

Si on ajoute à la définition d'un polyèdre semi-régulier une condition du type "tous les sommets sont pareils", le symbole détermine le polyèdre semi-régulier à similitude près, sinon on trouve deux polyèdres différents de symbole (3,4,4,4)(cherchez les différences).

Exemple : Le symbole d'un prisme droit régulier pentagonal est (4,4,5). Celui d'un cuboctaèdre est (3,4,3,4).

Exercice : Symbole d'un polyèdre

Règle de parité, symboles possibles

La règle de parité

Quand le symbole d'un polyèdre semi-régulier, non régulier, est (n 1,n 2,n 3) (c'est-à-dire dans le cas q=3), soit les n i sont tous pairs, soit l'un est impair et les deux autres pairs et égaux.

Démonstration : Indiquer le nombre de côtés des faces autour des sommets d'une face à nombre impair de côtés (voir [ME page 389, 375]).

Les symboles possibles

Dans le problème "Les polyèdres archimédiens" ([ME page 292, 283]), on recherche les symboles possibles pour des polyèdres semi-réguliers en s'appuyant sur la règle de la somme des angles , la règle de parité et d'autres raisonnements du même type et on montre qu'il en existe au plus 13 en plus des 5 polyèdres réguliers , des prismes et antiprismes . Pour montrer qu'à chacun de ces 13 symboles correspond un polyèdre semi-régulier, il suffit de construire celui-ci. Dans la suite, on verra comment la plupart s'obtient simplement à partir des polyèdres réguliers et on dressera la liste de tous les polyèdres semi-réguliers.

Définition : Les 13 polyèdres semi-réguliers (non réguliers) et les 5 réguliers s'appellent les 18 polyèdres archimédiens.

Exercice 1 : Utiliser la règle de la somme des angles et la règle de parité pour faire la liste des seuls symboles possibles vérifiant : q=3 et n 1=3. Même exercice avec n 1=4, puis n 1=5. On verra dans la suite de ce document qu'il existe pour chacun de ces symboles un polyèdre semi-régulier.

Exercice 2 : Par un raisonnement analogue à la démonstration de la règle de parité, montrer que, dans les symboles de la forme (3,n 2,3,n 4) avec n 23, les entiers n 2 et n 4 sont nécessairement égaux et déterminer tous les symboles de ce type.

Prismes et antiprismes

[ME.IX. page 294, 285]

On appelle prisme régulier un prisme droit de base un polygone régulier à n côtés ( n3) et à faces latérales carrées. C'est un polyèdre semi-régulier de symbole (3, 4, 4) si n vaut 3 et (4,4,n) sinon. Pour n=4, le prisme régulier est un cube.

Un antiprisme de base un polygone régulier à n côtés ( n4) est un polyèdre semi-régulier de symbole (3,3,3,n).

Un prisme régulier a 2n sommets, 3n arêtes et pour faces : n carrés et 2 polygones à n côtés.

Voici un prisme à base décagonale :

Un antiprisme a 2n sommets, 4n arêtes et pour faces : 2n triangles et 2 polygones à n côtés.

Voici un antiprisme à base hexagonale :

Tronquer un polyèdre

Pour obtenir un nouveau polyèdre Q à partir d'un polyèdre P donné, on peut considérer un polyèdre Q dont les sommets sont sur les arêtes du polyèdre P, c'est-à-dire à tronquer P.

Définition. Tronquer un polyèdre semi-régulier consiste à retirer à ce polyèdre en chaque sommet une même pyramide (on fait la même opération en chaque sommet pour garder une chance d'obtenir un polyèdre semi-régulier) . Plus précisément, on enlève au sommet S du polyèdre la pyramide de sommet S et de base le polygone A 1A q où, pour tout j=1q, A j est un point de la j-ième arête aboutissant en S. On a coupé le polyèdre selon le plan contenant les points A 1A q.

Le sommet S est donc remplacé par la face A 1,,A q.

Remarques :

  1. Des conditions sont imposées au polyèdre à tronquer pour obtenir un polyèdre semi-régulier.
  2. Dans le document DOC Polygones convexes réguliers , on explique comment tronquer un polygone régulier pour obtenir un nouveau polygone régulier. C'est la première opération à faire en chaque face pour que le polyèdre tronqué ait encore des faces régulières.

Exemple : Tronquer un cube

Définition. Rectifier un polyèdre consiste à le tronquer au milieu de chaque arête.

Tronquer un cube

Vous pouvez faire bouger le point P entre M et B. Les faces roses sont les bases des pyramides retirées. Les octogones verts sont les faces qui remplacent les faces du cube. Si P est en M, on obtient un cuboctaèdre . Si P est en Q, on obtient un cube tronqué .

Soyez patient au téléchargement. Répondez "se fier" ou "autoriser".

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Les polyèdres archimédiens

Nous allons maintenant énumérer les polyèdres archimédiens . Nous ne justifions pas toutes nos affirmations mais nous nous attachons à décrire les polyèdres pour aider l'imagination. Nous avons choisi de les classer en trois familles qui correspondent à la valeur de q, le nombre d'arêtes aboutissant en un sommet, mais aussi à la façon de les obtenir par troncature à partir des polyèdres réguliers.

Les premiers exercices de chaque partie permettent de visualiser les polyèdres ainsi construits en les repérant par leurs symboles.

Polyèdres rectifiés

Méthode de rectification

On considère un polyèdre P semi-régulier tel que de part et d'autre de chaque arête, on ait une face à n 1 côtés et une face à n 2 côtés.

On verra que les seuls polyèdres semi-réguliers qui vérifient cette hypothèses sont les polyèdres réguliers, le cuboctaèdre et l'icosidodécaèdre.


On considère le polyèdre P dont les sommets sont les milieux des arêtes de P, c'est-à-dire qu'on coupe le polyèdre P en chaque sommet selon un plan passant au milieu des arêtes. On dit que P est le rectifié de P.

Soit [RS] une arête de P et M son milieu. Les faces de P aboutissant en M sont au nombre de 4 :

Et chaque sommet de P (milieu d'une arête de P) présente le même aspect du fait de l'hypothèse. Ainsi le symbole de P est (q,n 1,q,n 2) à permutation circulaire près.

Voici la méthode appliquée au patron du sommet d'un octaèdre :
Les faces triangulaires bleues sont portées par les faces de l'octaèdre. Les faces carrées orange sont les bases des pyramides ôtées.

Combinatoire du polyèdre rectifié.

Le polyèdre P, rectifié de P, a a sommets (un par arête de P), autant de faces à n 1 ou n 2 côtés que P, s faces à q côtés et 2a arêtes puisque par la formule d'Euler , on a a=s+f2=a+f+s2=2a.

Quel résultat ?

Dans le cas où P est régulier, n 1 et n 2 sont égaux, notons n leur valeur commune. Alors les faces à q côtés de P correspondant aux sommets de P sont des polygones réguliers. Le polyèdre P est semi-régulier et son symbole est (q,n,q,n) à permutation circulaire près.

Dans le cas où P est semi-régulier sans être régulier, Le polyèdre P n'est pas semi-régulier, en effet ses faces à q côtés, bases des pyramides ôtées, ne sont pas régulières. Pourtant il existe un polyèdre semi-régulier de même combinatoire (même symbole, mêmes nombres s, a et f k), appelé petit rhombi...

Cuboctaèdre et compagnie

Les polyèdres obtenus par la rectification vérifient q=4. Et ce sont les seuls avec les antiprismes et l'octaèdre obtenu par rectification du tétraèdre. La rectification de deux polyèdres réguliers duaux donne le même polyèdre semi-régulier.

Polyèdres réguliers Polyèdres semi-réguliers
un sommet au milieu de chaque arête
(3,3,3) Tétraèdre régulier
4s 6a 4 triangles
(3,3,3,3) Octaèdre
(4,4,4) Cube
8s 12 a 6 carrés
(3,4,3,4) Cuboctaèdre
12s 24a 6 carrés et 8 triangles
(3,3,3,3) Octaèdre
6s 12a 8 triangles
(5,5,5) Dodécaèdre
20s 30a 12 pentagones
(3,5,3,5) Icosidodécaèdre
30s 60a 12 pentagones et 20 triangles
(3,3,3,3,3) Icosaèdre
12s 30a 20 triangles

Les petits Rhombi...

On peut rectifier un cuboctaèdre ou un isosidodécaèdre. Les polyèdres obtenus ne sont pas semi-réguliers mais le petit rhombicuboctaèdre et le petit rhombicosidodécaèdre sont les polyèdres semi-réguliers de même combinatoire :

Le petit rhombicuboctaèdre a pour symbole (3,4,4,4). Il a 24 sommets, 48 arêtes et pour faces 8 triangles et 18 carrés.
Le petit rhombicosidodécaèdre a pour symbole (3,4,5,4). Il a 60 sommets, 120 arêtes et pour faces 20 triangles, 30 carrés et 12 pentagones.

Exercice : Sommets au milieu des arêtes

Quels polyèdres tronquer ?

Tronquer un polyèdre régulier

Soit un polyèdre régulier P admettant s sommets, a arêtes et f faces à n côtés. Considérons deux points sur chaque arête de P posés de sorte que sur chaque face de P le polygone de sommets les nouveaux points soit régulier ( comment ? ). Il a donc 2n côtés. Le polyèdre P dont les sommets sont les nouveaux points est appelé polyèdre tronqué de P, il est semi-régulier par construction. Il a 2a sommets et f faces à 2n côtés.
Exemple.

Voyons, sur l'exemple de l'octaèdre, quelle est l'allure d'un sommet du polyèdre P. Nous avons tracé le patron d'un sommet S de P et, sur les arêtes aboutissant en S, posé les sommets de P. Par exemple A et B se trouvent sur l'arête [RS]. Les faces hexagonales de P sont bleues. Autour du sommet B, on a donc deux faces hexagonales et une face à q côtés obtenue en tronquant le sommet R, ici, c'est un carré.

En chaque sommet de P aboutissent q arêtes, pour obtenir P, on enlève une petite pyramide (on tronque le sommet de P) et on le remplace par une face à q côtés qui est la base de la pyramide enlevée, P a donc s faces à q côtés. Le symbole de P est (q,2n,2n). Comme n vaut au moins 3 et q au plus 5, l'ordre du symbole est bien respecté, la règle de parité aussi.
Exemple : Aperçu de l' octaèdre tronqué . Son symbole est (4,6,6).

Par la formule d'Euler on obtient le nombre d'arête de P qui égale 3a=2a+f+s2.

Résumé. Le polyèdre tronqué d'un polyèdre régulier P (avec s sommets, a arêtes, f faces à n côtés et q faces en chaque sommet) a pour symbole est (q,2n,2n). Il a 2a sommets, 3a arêtes, f faces à 2n côtés et s faces à q côtés.

Tronquer un polyèdre semi-régulier, non régulier

Si on veut appliquer cette méthode de troncature à un polyèdre semi-régulier, on doit imposer à celui-ci que de part et d'autre d'une arête se trouvent une face à n 1 côtés et une face à n 2 côtés (

Les seuls polyèdres semi-réguliers qui vérifient cette hypothèses sont le cuboctaèdre et l'icosidodécaèdre.

) mais on est embarrassé pour placer les deux sommets sur une arête ( pourquoi ? ). Dans tous les cas, le polyèdre obtenu ne sera pas semi-régulier bien que tous ses sommets aient même aspect. Par exemple, à partir d'un cuboctaèdre, on obtient un polyèdre de symbole (4,6,8). Les polyèdres semi-réguliers qui ont la combinatoire de ces polyèdres tronqués sont les grands rhombi...

Comment tronquer un polyèdre ?

Quand on tronque un polyèdre régulier, on enlève une petite pyramide en chaque sommet du polyèdre en coupant par un plan à une distance d (sur l'arête) de chaque sommet. Chaque face à n côtés du polyèdre régulier porte alors une face à 2n côtés du polyèdre tronqué. Cette face est encore un polygone régulier si on a tronqué le sommet à la distance d=c2[1+cos(πn)]c est la longueur de l'arête. (Voir DOC Polygones convexes réguliers )

Quand le polyèdre à tronquer est semi-régulier sans être régulier, par exemple, si en chaque sommet, aboutissent des carrés et des triangles, on ne sait plus à quelle distance d tronquer pour que les nouvelles faces soient régulières. En effet, si on tronque à un tiers du sommet, les octogones obtenus sur les faces carrées ne seront pas réguliers ; si on tronque à une distance (122)c du sommet (avec c longueur des arêtes), les hexagones obtenus sur les faces triangulaires ne seront pas réguliers.

Polyèdres tronqués (vrais ou faux)

Les polyèdres tronqués

Tous les polyèdres archimédiens obtenus par troncature vérifient q=3 et ce sont les seuls polyèdres semi-réguliers vérifiant q=3 avec les prismes , le tétraèdre, le cube et le dodécaèdre et les faux tronqués (voir plus bas).
Polyèdres réguliers Polyèdres semi-réguliers
deux sommets par arêtes

(3,3,3) Tétraèdre régulier
4s 6a 4 triangles
(3,6,6) Tétraèdre tronqué
12s 18a 4 triangles et 4 hexagones
(4,4,4) Cube
8s 12 a 6 carrés
(3,8,8) Cube tronqué
24s 36a 8 triangles et 6 octogones
(3,3,3,3) Octaèdre
6s 12a 8 triangles
(4,6,6) Octaèdre tronqué
24s 36a 6 carrés et 8 hexagones
(5,5,5) Dodécaèdre
20s 30a 12 pentagones
(3,10,10) Dodécaèdre tronqué
60s 90a 20 triangles et 12 décagones
(3,3,3,3,3) Icosaèdre
12s 30a 20 triangles
(5,6,6) Icosaèdre tronqué (ballon de football)
60s 90a 12 pentagones et 20 hexagones

Les grands rhombi... ou faux tronqués

Voici deux polyèdres semi-réguliers dont les symboles pourraient résulter d'une telle opération de troncature (sur quels polyèdres ?). Ce sont les grands rhombi... (ou faux tronqués). Ils ont la combinatoire des polyèdres tronqués.
Le grand rhombicuboctaèdre a pour symbole (4,6,8). Il a 48 sommets, 72 arêtes et pour faces 12 carrés, 8 hexagones et 6 octogones.
Le grand rhombicosidodécaèdre a pour symbole (4,6,10). Il a 120 sommets, 180 arêtes et pour faces 30 carrés, 20 hexagones et 12 décagones.

Exercices :

  1. Reconnaître sur une figure un polyèdre obtenu par troncature
  2. Reconnaître un polyèdre (obtenu par troncature) donné par son symbole
  3. Décrire un polyèdre obtenu par troncature

Les adoucis

Comment classer ou caractériser ces deux derniers polyèdres archimédiens ? Avec l'icosaèdre, ce sont les seuls qui vérifient q=5 : en chaque sommet aboutissent 5 faces. Ensuite grâce à la règle de la somme des angles, les cas possibles sont vite énumérés.

Le cube adouci a pour symbole (3,3,3,3,4). Il a 24 sommets, 60 arêtes et pour faces 32 triangles et 6 carrés.

Le dodécaèdre adouci a pour symbole (3,3,3,3,5). Il a 60 sommets, 150 arêtes et pour faces 80 triangles et 12 pentagones.

Pour comprendre le nom d'adouci, il faut imaginer qu'on a pris un cube par exemple et qu'on a adouci ses sommets et ses arêtes par des triangles et obtenu ainsi un cube adouci. Plus précisément, on a 6 faces carrées qui correspondent à celles du cube, 8 faces triangulaires à la place des sommets et 2 faces triangulaires par arête du cube soit en tout 32 triangles. Chaque sommet du cube adouci appartient à une face carrée et une seule (voir le symbole) donc le cube adouci a 6×4=24 sommets. Le nombre d'arêtes calculé par la formule d'Euler est 24+6+322=60.

Exercice : Calculer (s,a,f) du dodécaèdre adouci en utilisant les relations entre s, a et f. ( Solution )

Relations entre s, a et f

La connaissance du symbole d'un polyèdre semi-régulier permet de calculer le nombre de ses sommets, faces et arêtes en utilisant la formule d'Euler.
Les formules générales sont établies en [ME page 293, 284 question 2 corrigée page 388, 374].

Voici l'exemple du dodécaèdre adouci de symbole (3,3,3,3,5):

En chaque sommet aboutissent 5 arêtes et chaque arête compte pour 2 sommets donc on a : 5s=2a.

Chaque face triangulaire a 3 sommets et chaque sommet est compté pour 4 triangles (en effet en chaque sommet aboutissent 4 triangles) donc on a : 4s=3f 3f 3 est le nombre de faces triangulaires.

Chaque face pentagonale a 5 sommets et chaque sommet est compté pour un seul pentagone donc on a : s=5f 5f 5 est le nombre de faces pentagonales.

Le nombre total de faces est donc f=f 3+f 5=(43+15)s=2315s.

Ecrivons maintenant la formule d'Euler : 2=sa+f=s(152+2315) d'où s=60. On en déduit : a=150, f 3=80 et f 5=12.

Exercices de synthèse

  1. Généralités sur le symbole
  2. Classer les polyèdres selon le nombre d'arêtes en un sommet
  3. Nommer un polyèdre donné par son symbole
  4. Décire un polyèdre semi-régulier donné par une figure (1)
  5. Reconaître les rhombi ...
  6. Nommer les rhombi...
  7. Décrire un polyèdre semi-régulier donné par une figure (2)

Index des polyèdres

Le lien renvoie à la page de ce document où le polyèdre est décrit. Vous pouvez utiliser l' outil polyèdres pour les visualiser.

Références

Livres et papiers

Sites

description des polyèdres de Platon et d'Archimède.
: polyèdre, régulier, semi-régulier, dodécaèdre, icosaèdre, octaèdre cube, tétraèdre, archimédien, Platon, prisme, interactive mathematics, interactive math, server side interactivity

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Description: description des polyèdres de Platon et d'Archimède. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games

Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, euclidean geometry, polyèdre, régulier, semi-régulier, dodécaèdre, icosaèdre, octaèdre cube, tétraèdre, archimédien, Platon, prisme